INDICE DE GRAOVAC-GHORBANI E ENERGIA ABC DE GRAFOS

Abstract

Atom-Bond Connectivity (ABC) index of a graph is a degree-based molecular structure descriptor, whose purpose presents a variety of chemical applications. A variation of the ABC index is the Graovac-Ghorbani (ABCGG) index, which presented significant prediction power of physico-chemical properties, and is defined as ABCGG(G) = X uv∈E(G) s n(u) + n(v) − 2 n(u)n(v) where n(u) is the number of vertices closer to vertex u than vertex v and n(v) defines similarly. In 2016, K. Das in the article [On the Graovac–Ghorbani index of graphs, Appl. Math. Comp. 275 (2016) 353–360] proposed the following question: “ Which graphs have a minimum ABCGG index among all bicyclic graphs?”. Motivated by this issue, we determined in this work a lower bound for all bicyclic graphs without pendent vertices. We define the ABCGG index for families of bicyclic graphs and determine the minimum value of ABCGG for one of these families. We also conjecture lower and upper bounds for the ABCGG index for all bicyclic graphs. In 2017, Estrada defined the ABC matrix for graphs. The ABC energy of a graph is defined as the sum of the absolute values of the igenvalues of the ABC matrix. From the article by Gao and Shao, [The minimum ABC energy of trees, Lin. Alg. And its Appl. 577 (2019) 186–203], we approach the following question: which graph has the second smallest ABC energy among all trees? In this work, we present initial results regarding the determination of this second smallest ABC energy among all trees.

O ´ındice de conectividade atˆomica ABC de um grafo ´e um descritor molecular estrutural baseado nos graus dos v´ertices, cujo objetivo apresenta uma variedade de aplica¸c˜oes qu´ımicas. Uma varia¸c˜ao do ´ındice ABC ´e o ´ındice de Graovac-Ghorbani, denotado por ABCGG, que apresenta um significativo poder de previs˜ao de propriedades f´ısico-qu´ımicas e ´e definido como: ABCGG(G) = X uv∈E(G) s n(u) + n(v) − 2 n(u)n(v) onde n(u) ´e o n´umero de v´ertices mais pr´oximos do v´ertice u do que do v´ertice v e n(v) ´e definido de forma similar. Em 2016, K. Das no artigo [On the Graovac–Ghorbani index of graphs, Appl. Math. Comp. 275 (2016) 353–360] propˆos a seguinte quest˜ao: “Quais grafos tˆem m´ınimo ´ındice ABCGG dentre todos os grafos bic´ıclicos?”. Motivados por esta quest˜ao, determinamos neste trabalho uma cota inferior para todos os grafos bic´ıclicos sem v´ertices pendentes. Definimos o ´ındice ABCGG para as fam´ılias de grafos bic´ıclicos e determinamos o valor m´ınimo de ABCGG para uma destas fam´ılias. Conjecturamos ainda, cotas inferior e superior para o ´ındice ABCGG para todos os grafos bic´ıclicos. Em 2017, Estrada definiu a matriz ABC para grafos. A energia ABC de um grafo ´e definida como a soma dos valores absolutos dos autovalores da matriz ABC. A partir do artigo de Gao e Shao, [ The minimum ABC energy of trees, Lin. Alg. and its Appl. 577 (2019) 186–203], abordamos a seguinte quest˜ao: qual grafo apresenta a segunda menor energia ABC entre todas as ´arvores? Neste trabalho, apresentamos resultados iniciais referente `a determina¸c˜ao desta segunda menor energia ABC entre todas as ´arvores.