POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E COTAS PARA ALGUNS AUTOVALORES DA MATRIZ Aα

Abstract

Consider a graph G of order n, with the adjacency matrix A(G) and the diagonal degree matrix D(G). For any α in the interval [0, 1], the matrix Aα(G), defined by Nikiforov [2017], is given by αD(G) + (1 − α)A(G). In this thesis, we explore the characteristic polynomial of the matrix Aα when G is obtained by the coalescence of two graphs. In the case where G is a semirregular bipartite graph, we derive the characteristic polynomial of Aα for the line graph associated with G, denoted as Aα(l(G)). Additionally, for G being a regular graph, we present the characteristic polynomial of Aα for graphs obtained through specific operations. Furthermore, we provide new upper and lower bounds for the largest, second-largest, and smallest eigenvalues of the matrix Aα, characterizing extremal graphs for some of these bounds. We conduct comparisons between the established bounds and those already existing in the literature. Additionally, we perform an initial analysis of the matrix Aα for line graphs, presenting some bounds for its largest and second-largest eigenvalues.

Seja G um grafo de ordem n, cujas matrizes de adjacência e diagonal de graus são A(G) e D(G), respectivamente. Nikiforov [2017] definiu a matriz Aα(G), para qualquer α no intervalo [0, 1], como a combinação linear convexa αD(G) + (1 − α)A(G). Nesta tese, exploramos o polinômio caraterístico da matriz Aα quando G é obtido pela coalescência de dois grafos. No caso de G ser um grafo bipartido semirregular, obtemos o polinômio característico de Aα do grafo linha associado a G, Aα(l(G)). Além disso, para G sendo um grafo regular, apresentamos o polinômio característico de Aα para os grafos obtidos por meio de operações específicas. Outrossim, são apresentados novos limites superiores e inferiores para o maior, o segundo maior e o menor autovalor da matriz Aα, caracterizando grafos extremais para alguns desses limites. Realizamos comparações entre as cotas estabelecidas e aquelas já existentes na literatura. Além disso, conduzimos uma análise preliminar da matriz Aα para grafos linha, apresentando algumas cotas para o maior e segundo maior autovalores dessa matriz.